定比分点坐标公式_空间向量定比分点坐标公式

设向量OA的起点坐标为A（x1, y1, z1），终点坐标为B（x2, y2, z2），目标点在AB上的定比为m:n（m + n = 1）。设目标点为P（x, y, z）。由于P在AB上，所以P可以用向量OA和向量AP的线性组合表示，即

OP = m * OA + n * OB

将OA和OB用坐标表示，则有

OP = m * (x1, y1, z1) + n * (x2, y2, z2)

展开得

(x, y, z) = (mx1 + nx2, my1 + ny2, mz1 + nz2)

于是得到定比分点坐标公式

x = mx1 + nx2

y = my1 + ny2

z = mz1 + nz2

这个公式非常实用，可以用于求解各种空间向量问题，比如求平面上向量的点积、向量夹角的余弦值等等。下面就以一个具体的例子来说明如何使用定比分点坐标公式。

例：已知A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)两点，以A为起点的向量和以B为起点的向量的夹角为60度。求这两条向量的点积。

解：首先计算出向量AB的坐标表示，即

AB = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

假设以A为起点的向量为OA，以B为起点的向量为OB，设点P为OA和OB的夹角的平分线与向量AB的交点，则P的坐标可以用定比分点坐标公式来表示，即

x = mx1 + nx2 = \frac{1}{2} * 1 + \frac{1}{2} * 4 = 2.5

y = my1 + ny2 = \frac{1}{2} * 2 + \frac{1}{2} * 5 = 3.5

z = mz1 + nz2 = \frac{1}{2} * 3 + \frac{1}{2} * 6 = 4.5

于是P的坐标为(2.5, 3.5, 4.5)。此时向量AP和向量BP的坐标可以分别表示为

AP = (2.5-1, 3.5-2, 4.5-3) = (1.5, 1.5, 1.5)

BP = (4-2.5, 5-3.5, 6-4.5) = (1.5, 1.5, 1.5)

由于向量AP和向量BP的模长相等，且夹角为60度，所以它们的点积为

AP·BP = AP * BP * cos60° = 1.5 * 1.5 * \frac{1}{2} = \frac{9}{4}

因此，这两条向量的点积为9/4。

通过这个例子，可以看出定比分点坐标公式的实用性和重要性。在研究空间向量问题时，用到这个公式可以大大简化计算过程，提高求解效率。